数学研究对象是集合

        数学研究对象是什么?这是一个根本性问题,必须说清楚。

        记得,1957年的秋天,袁萌到南京大学图书馆借阅德国数学家Hausdorff的代表作“集合论”。

        在这本书中,Hausdorff把序偶定义为集合:(a,b)={a,{a,b}}

        这个定义概念清楚,让我至今记忆犹新。

        1976年,德国数学家J. Keisler在其代表作“Elementary Calculus”中,把函数定义为由序偶的集合。

        请见本文附件。

        据此,数学研究对象是集合,以及集合的集合,除此之外一切其他的“东西”都不是数学的研究对象。



袁萌 (孙朗宸 代笔)

2022年1月15日


附件:

无穷小与函数的序偶定义

 

        进入中文互联网搜索“无穷小与函数”关键字,你会发现,这两个基本数学概念被媒体糟蹋得不成样子,严重干扰了大学新生上网学习的兴趣。这种状况必须得到改变。

 

        看问题要有历史观点,不能抓住一个“时间点”胡乱发挥。上世纪中叶,数理逻辑模型论利用“超乘积”技术给莱布尼兹所创建的微积分学(Calculus)一个历史性的辩护,使其重新获得新生。这是数学的一大进步。

 

        简而言之,模型论所创立的这种新型的数系,即“超实数系”*R(Hyperreals)。在这种“超实数系”*R是一个抽象集合(Set),其中的元素都是“平等的”,也就是说,都是本质相同的超实数。超实数系*R远比传统实数系结构丰富、复杂。但是,十分巧合的是,在*R中有个相对很小的子集合R与传统实数系“保序同构”。在*R中,存在一种大于零而小于R中的一切”正数“的超实数。由于R与传统实数“保序同构”,由此,人们称这类超实数为“无穷小”(Infinitesimal),符合我们的直观感觉,这是顺理成章的事情。在传统实数系中,谈论无穷小是无稽之谈,胡说八道。

 

        函数是什么?如果函数是一种对应关系、映射关系,那么,什么是“对应”?,什么是“映射”?又是一笔糊涂账,说不清,道不明。1939年,法国布尔巴基学派将函数定义为“序偶集合”(Setof orderedpairs),正好顺应了引入超实数*R的历史发展潮流,把传统函数定义中的“对应”、”映射“含糊说辞统统避开了。

 

        在J.Keisler的《基础微积分》第一章第1.1节中,明确无误地将函数定义为”序偶集合“,干净利落,概念清晰,特别有利于大学新生的掌握、理解。为此,我阅们要引发一个学习现代无穷小微积分的群众热潮,抛开旧传统,迎接新潮流。现在,坚定主张现代无穷小的人虽然是极少数,但是,只要我们把数学真理”原汁原味地“上传到互联网上,理解的人们就会自然地跟上来了。所以,负责人工转录的文员薛lily以及负责语义校对的张xiaofeng女士,她们两人的工作都很有意义。只要我们做到了这一点(上传成功),数学真理的传播是不可阻挡的。(全文完)

 

袁萌  2013年6月29日


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