拒绝时间与脑力浪费,不做数学守旧派

        当前,全国普通高校高等数学教材中,存在大量时间及脑力浪费现象。

        1960年深秋,在数学证明中,美国数学家鲁滨逊提出两种方法:(1)全新的非标准方法(2)传统的标准方法。大量实例证明,在数学证明过程中,采用方法(1),较之方法(2),更加易懂、简单且具有更强的直觉性。由此,人们喜欢选择采用非标准方法,而不是传统的标准方法(数学守旧派)。本文附件是鲁滨逊非标准分析内容目录。

                                                      袁萌 陈启清

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附件:鲁滨逊非标准分析内容目录

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

〔美〕A.鲁滨逊著

申又枨 王世得 张锦文 等译

 

 

 

 

 

 

1980

 

 

 

 

 

 

 

 

 

内容简介

 

   本书介绍作者在六十年代初建立的非标准分析理论及其在数学各个分支的应用。

   第一章为引言;第二章介绍非标准分析的数理逻辑的形式工具;第三章阐述非标准分析数学结构的基本性质并运用这个理论展开了微积分学;第四章用非标准的理论重建拓扑学的各种基本概念;第五章至第九章为非标准分析的结构应用于实、复变函数、线性赋范空间、拓扑群和变分法等方面的内容;第十章介绍有关微积分学的历史。

   本书可供髙等学校数学系师生和科学研究工作者阅读。

 

〔美〕A.鲁滨逊著

申又枨 王世得 张锦文 等译

科学出版社出版

北京朝阳门内大街137号

中国科学院印刷厂印刷

新华书店北京发行所发行  各地新华书店经售

 19809月第     开本:787×1092  1/32

      19809月第一次印刷   印张:10  3/4

     印数:0001-5,420        字数:242,000

统一书号:13031·1267

本社书号:1762·13-1

定价:1.65元

中译本前言

 

   几年前,为了考察微积分发展史、了解非标淮分析的发展过程,我译了本书第十章:关于微积分的历史。同时,王世强等同志译了本书的第一至三章,王世强、张锦文等同志在有关讨论班上分别报告过第二、三章有关非标准分析的数理逻辑方法。后来,一些同志建议把全书译成中文,出版中译本。张锦文同志承担了有关组织工作。

   参加本书翻译工作的有王世强(第二章§§2.62.12),张锦文(第六章),孙永生(第三、五章),廖祖伟(第九章),袁萌 (第七、八章),吴望名(第一章及第二章§§2.12.5)和程汉生 (第四章)等同志,第十章我在原译文基础上又作了些修改。全书最后由王世强、张锦文二同志校对并作了些文字统一工作。

   鉴于我们水平低,错误缺点难免,欢迎批评指正。

 

                                    申又枨

                                    1978.3.23

 

 

 

 

 

前言

  

    1960年秋,我想到了现代数理逻辑的概念和方法能够为运用无限小和无限大的数来叙述微积分学提供一个合适的框架。我先是在普林斯顿大学(196011月)的一个讨论班的报告中报告了我的想法。随后又在符号逻辑学会(19611月)年会的一次发言中,以及在一篇刊登在阿姆斯特丹皇家科学院院报的文章(Robinson [1961])中,相继发表了我的想法。我把所得到这一课题叫做非标准分析,因为它包含有所谓算术的非标准模型,并且部分地是受到了后者的启发。算术的非标准模型的存在,首先是T. Skolem提出来的。

   这些年来,非标准分析在若干方向上有了相当大的发展。因为直到目前为止,许多结果仅仅是在课程、讲义和复写的报告中提出来了,所以想到,专门为这一课题写一本书是适宜的。

  几年来,在这个领域中,通过同一些同行们的讨论,活跃了我的思路。这里我想冒昧地提到的有:R. ArensC. C. ChangA. ErdelyiA. Horn, G. Kreisel, I. Lakatos以及J.B. Rosser.特别要对W.A.J.Luxemburg表示感谢,他的关于非标准分析的演讲和讲义,对于使数学家们知道这一课题起了很大的作用。

 

                                    A.鲁滨逊

                                   19654

笫二版序

   

   本书第一版出版后巳经七年了。若从它的课题问世算起则已经过去将近两倍长的年月了。现在有必要出版新版本这一事实,表明这里所阐述的思想吸引了人们相当的注意。至少可以说,这个课题本身的意义和它的历史联系,迄今已广泛地为人们所重视。除此以外,在最近的数学文献中,有许多论文的内容包括了非标准分析对诸如代数数论和数理经济学这样相距甚远的领域中一些现代问题的应用。特别是,感兴趣的读者可能希望参阅近几年来在这个领域中所举行的几次讨论会的会议录。它们包含在下列书中:w.A.J.Luxemburg编辑的《模型论在代数学、分析和概率论中的应用》(Holt, Rinehart and Winston,Toronto, 1969);W.A.J.LuxemburgA.Robinson编辑的《非标准分析文集》,“数学基础和逻辑的研究”丛书第69(North-Holland, Amsterdam, 1972);1972年春天在加拿大Victoria大学举行的非标准分析讨论会的会议录,该会议录将发表在Springer-Verlag的《数学讲义》丛刊。

   虽然有一天情况可能会发生变化,我们目前所推荐的非标准方法,对于普遍接受的数学原理(例如包括选择公理的Zermelo-Fraenkel公理)来说,还是比较保守的。这意味着非标准的证明总可以由标准的证明来代替,即使后者可能更复杂一些并且更缺少直观性。所以,作者采取这样的观点:非标准分析对一特殊数学学科的应用只是一个选择问题,自然,每个人实际上怎样取舍是依赖于他早年所受的训练的。

    19733月,我在普林斯顿高等研究所作报告之后,K.Godel说的一段话表述了更加明确的意见。在他的善意许可之下,我在这里把他的这段话再重复一下。

   “我愿意指出一个事实。这个事实,A. Robinson教授并没有明确地提出来,但在我看来是非常重要的;即非标准分析不仅常常可以把初等定理的证明,而且也能够将一些深刻结果的证明大大地加以简化。例如,对于紧致算子存在不变子空间的证明就是这样,暂且不说对结论的改进;在其他一些情况,甚至在更大的程度上是这样。这种情况应能防止对非标准分析的相当普遍的误解,即认为非标准分析不过是数理逻辑家们的一种多余的活动或一时的爱好,没有什么比这种观点更错误的了。相反地,我们有充分的理由相信,以这种或那种形式表示的非标准分析,将成为未来的分析学。

   一个理由是刚才提到的简化证明的问题,因为简化将有助于新的发现。另一个甚至更加令人信服的理由是:算术从整数开始进而通过有理数、负数、无理数等等把数系扩大。但是,在实数之后,下一个十分自然的步骤,即引入无限小,竟被完全忽略了。我认为,在未来的世纪里,人们将会把这看作是数学发展史上的一件大怪事,就是在发明了微积分三百年之后,第一个精确的无限小理论才发展起来。我倾向于相信,这件怪事同另一个存在于同一长时间的怪事有点联系,这另一件怪事就是有些问题例如Fermat问题,它只用初等算术的十个符号就能写出来,但是,在提出了问题三百年之后,仍然未能加以解决。上面提到的疏忽也许要对以下的事实负有很大的责任:比起抽象数学的巨大发展来说,具体的数值问题的解决是远远地落后了。”

   我极为感谢Peter Winkler,他改正了本书第一版中出现的很多印刷错误,并且补上了第八章定理8.1.12原来陈述中的一个漏洞。

                                         A.鲁滨逊

                                       197310

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第一章 引言...................................................................................1

   1.1 本书目的............................................................................1

   1.2 内容概述............................................................................2

第二章 逻辑工具...........................................................................6

   2.1 狭义谓词演算....................................................................6

   2.2 解释....................................................................................8

   2.3 超积...................................................................................10

   2.4 前束范式...........................................................................11

   2.5 有穷性原理.......................................................................15

   2.6 髙阶结构及相应的语言...................................................22

   2.7 型符号...............................................................................28

   2.8 髙阶理论的有穷性原理.................................................32

   2.9 扩大...................................................................................37

   2.10 扩大的例子.....................................................................41

   2.11 扩大的一般性质.............................................................50

   2.12 注记和参考文献.............................................................59

第三章 微分法和积分法...............................................................60

   3.1 非标准算术........................................................................60

   3.2 非标准分析......................................................................66

   3.3   收敛..................................................................................70

   3.4 连续性与微分法..............................................................77

   3.5 积分....................................................................................84

   3.6 微分....................................................................................93

   3.7 全微分................................................................................95

   3.8 初等微分几何....................................................................97

   3.9 注记和参考文献...........................................................103

第四章 一般拓扑学....................................................................105

   4.1 拓扑空间.........................................................................105

   4.2 序列、网、映射.............................................................112

   4.3 度量空间.........................................................................116

   4.4  *T中的拓扑....................................................................123

   4.5 度量空间中的函数、极限和连续性............................ 128

   4.6 函数序列、紧致映射......................................................136

   4.7 欧氏空间..........................................................................140

   4.8 注记和参考文献..............................................................142

第五章 实变数函数.....................................................................143

   5.1 测度与积分....................................................................143

   5.2 函数序列..........................................................................151

   5.3 广义函数..........................................................................155

   5.4 注记和参考文献..............................................................170

第六章 复变函数.........................................................................171

   6.1 多项式的解析理论..........................................................171

   6.2 解析函数..........................................................................180

   6.3  Picard定理和Julia方向...............................................187

   6.4 在古典函数论中的紧致性论证......................................203

   6.5 注记和参考文献..............................................................206

第七章 线性空间.........................................................................207

   7.1 赋范空间..........................................................................207

   7.2  Hilbert空间.....................................................................211

   7.3 紧致算子的谱论..............................................................217

   7.4 不变子空间问题..............................................................228

   7.5 注记和参考文献.............................................................235

第八章 拓扑群和Lie.............................................................236

   8.1 拓扑群.............................................................................236

   8.2 度量群.............................................................................242

   8.3 单参数子群.....................................................................251

   8.4 群的Lie代数..................................................................264

   8.5 注记和参考文献...........................................................268

第九章 选取的课题....................................................................269

   9.1 变分.................................................................................269

   9.2  Riemann映射定理.........................................................271

   9.   Dirichlet 原理...............................................................273

   9.4 源和偶极子.....................................................................278

   9.5 局部扰动:........................................................................282

   9.6 边界层理论.....................................................................289

   9.7  Saint-Venant原理..........................................................295

   9.8 注记和参考文献.............................................................301

第十章 关于微积分的历史........................................................303

   10.1 引言...............................................................................303

   10.2  Leibniz............................................................................304

   10.3  De 1’Hospital ................................................................307

   10.4  LagrangedAlembert ............................................310

   10.5  Cauchy  .......................................................................312

   10.6   Bolzano, Weierstrass及其以后...................................320

   10.7 无限小数、无限大数和无限.......................................323

参考文献.......................................................................................327

 

 


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