学微积,用拓扑,越用拓扑越明白,不做糊涂人

         大家知道,现代微积分建立在欧几里德拓扑之上。因此,学微积,用拓扑,是当然之理。

         因此,学微积,用拓扑,而且,越用拓扑越明白,不做糊涂人。

         对于拓扑学必须把有“敬畏之心”。拓扑学不是小儿科,请见本文附件(全文在“无穷小微积分”网站)。

        袁萌   陈启清   3月300日

        附件:

        Introduction to Topology Winter 2007(必须使用200冬季发布的这个电子版!)

        Contents

        1 Topology 9

        1.1 Metric Spaces . 9

        1.2 Open Sets (in a metric space) . . . . . . 10

        1.3 Closed Sets (in a metric space) . . . . . 11

        1.4 Topological Spaces . . . . . . 11

        1.5 Closed Sets (Revisited) . . 12

        1.6 Continuity 13

        1.7 Introduction to Topology. 14

        1.8 Homeomorphism Examples . .. 16

        1.9 Theorems On Homeomorphism . . 18

        1.10 Homeomorphisms Between Letters of Alphabet . . .. 19

        1.10.1 Topological Invariants . . . 19

        1.10.2 Vertices . . . . 19

        1.10.3 Holes . . . . . .. 20

        1.11 Classification of Letters . . . 21

        1.11.1 The curious case of the “Q” 22

        1.12 Topological Invariants . . .. . 23

        1.12.1 Hausdorff Property . . . 23

        1.12.2 Compactness Property 24

        1.12.3 Connectedness and Path Connectedness Properties . . . 25

        2 Making New Spaces From Old 27

        2.1 Cartesian Products of Space 27

        2.2 The Product Topology . 28

        2.3 Properties of Product Spaces . . 29

        3

        2.4 Identification Spaces . . . .. 30

        2.5 Group Actions and Quotient Spaces 34

        3 First Topological Invariants 37

        3.1 Introduction . 37

        3.2 Compactness . . . 37

        3.2.1 Preliminary Ideas . . . . . .. . . 37

        3.2.2 The Notion of Compactness . . .. 40

        3.3 Some Theorems on Compactnes . 43

        3.4 Hausdorff Spaces . . . .47 3.5 T1 Spaces . .. .. 49

        3.6 Compactification . .. . 50

        3.6.1 Motivation . . . 50

        3.6.2 One-Point Compactification . . 50

        3.6.3 Theorems . . 51

        3.6.4 Example 55

        3.7 Connectedness . . 57

        3.7.1 Introduction . 57

        3.7.2 Connectedness . . . . . 58

        3.7.3 Path-Connectedness . . 61

        4 Surfaces 63

        4.1 Surfaces . . . . . . . . . 63

        4.2 The Projective Plane . . . . . 63

        4.2.1 RP2 as lines in R3 or a sphere with antipodal points identified. . . . . . . 63 4.2.2 The Projective Plane as a Quotient Space of the Sphere . . . . 65

        4.2.3 The Projective Plane as an identification space of a disc . . . . . . 66

        4.2.4 Non-Orientability of the Projective Plane . . . . .. . 69 4.3 Polygons 69

        4.3.1 Bigons . . 71

        4.3.2 Rectangles . . . . 72

        4.3.3 Working with and simplifying polygons . . . 74

        4.4 Orientability . 76

        4.4.1 Definition . . 76

        4

        4.4.2 Applications To Common Surfaces . . 77

        4.4.3 Conclusion . . . . . . 80

        4.5 Euler Characteristicn. .. .80

        4.5.1 Requirements . . 80

        4.5.2 Computatio. . . 81

        4.5.3 Usefulness . . . . 83

        4.5.4 Use in identification polygons . . . . . . 83

        4.6 Connected Sums . . 85

        4.6.1 Definition . . . 85

        4.6.2 Well-definedness . . 85

        4.6.3 Examples . . .. . 87

        4.6.4 RP2#T= RP2#RP2#RP2 . .88

        4.6.5 Associativity . . 90

        4.6.6 Effect on Euler Characteristic . . . . . . 90

        4.7 Classification Theorem . . . 92

        4.7.1 Equivalent definitions . . . . . 92

        4.7.2 Proof . . . . . 93

        5 Homotopy and the Fundamental Group 97 5.1 Homotopy of functions . . . . 97

        5.2 The Fundamental Group . . 100

        5.2.1 Free Groups . . . 100

        5.2.2 Graphic Representation of Free Group . .. . 101

        5.2.3 Presentation Of A Group . . . . . 103

        5.2.4 The Fundamental Group .. . 103

        5.3 Homotopy Equivalence between Spaces . . . . . 105 5.3.1 Homeomorphism vs. Homotopy Equivalence . 105

        5.3.2 Equivalence Relation . . . . . 106

        5.3.3 On the usefulness of Homotopy Equivalence 106

        5.3.4 Simple-Connectedness and Contractible spaces . . . . 107

        5.4 Retractions . . . . 108

        5.4.1 Examples of Retractions . . . . . 108

        5

        5.5 Computing the Fundamental Groups of Surfaces: The Seifert-Van Kampen Theorem . . . 110

        5.5.1 Examples: . . . 112

        5.6 Covering Spaces . . . 113

        5.6.1 Lifting . . 117

        

发表新评论